2  Modele matematyczne dynamiki kołowych robotów mobilnych

opisać co to lagranżjan Aby otrzymać równania dynamiki dla układu z ograniczeniami postaci (5), należy wpierw zdefiniować funkcję lagranża dla układu swobodnego (bez ograniczeń fazowych).

L(q, ⋅ q   ) = Ek(q, ⋅ q   )−Ep(q)

(13)

gdzie:
E_k - energia kinetyczna robota
E_p - energia potencjalna robota

2.1  Zasada d'Alemberta

coś.... Sformulowanie zasady

2.2  Energia kinetyczna

Energia kinetyczna układu swobodnego jest to suma energii kinetycznych skrzyni robota oraz poszczególnych jego kół względem układu bazowego.

Ek= 1 2 ⋅ q   T   M(q) ⋅ q   ,

(14)

gdzie:
K(q) - macierz formy.

2.2.1  Energia platformy robota mobilnego

Zgodnie z [] energia platformy względem ukladu bazowego wyrażona jest wzorem:

Ekp= 1 2 Iz ⋅ θ   + 1 2 Mp( ⋅ x   2   +( ⋅ y   2   )+P1( ⋅ y   cosθ− ⋅ x   sinθ) ⋅ θ   −P2( ⋅ y   sinθ+ ⋅ x   cosθ) ⋅ θ

(15)

gdzie:
I_z - moment bezwładności ciała względem osi z układu lokalnego
M_p - masa ciała
P₁,P₂ - momenty rzędu pierwszego ciała w układzie lokalnym (współrzędne środka masy platformy)

P1= ⌠ ⌡ B  xldm, P2= ⌠ ⌡ B  yldm,

(16)

gdzie:
x_l, y_l - współrzędne ciała B w układzie lokalnym lokalnego
Powyższe zapisać można w postaci macierzowej. tu postać macierzową

hhh

(17)

W szczególności, gdy układ lokalny stowarzyszony z platformą zaczepiony jest w jej środku cięzkości

EKP = 1 2 Iz ⋅ θ   2   + 1 2 MP( ⋅ x   2   + ⋅ y   2   ),

(18)

gdzie:

• I_z - moment bezwładności platformy liczony względem lokalnej osi Z,
• M_P - masa platformy.

2.2.2  Energia pojedynczego koła

Lokalny układ współrzędnych związany z kołem zaczepiamy w jego środku. Kluczowe znaczenia dla wyznaczenia energii koła względem układu bazowego ma znalezienie transformacji układu stowarzyszonego z kołem w uklad bazowy. W ogólności mozna wyrazić je wzorem:

A0ki=A0PTrans(z,−e)Rot(z,αi)Trans(x,li)Rot(z,βi)Trans(x,di)Rot(z,γi)Rot(x,φi),

(19)

gdzie:
A₀^P=.... - transformacja układu lokalnego poruszającego się wraz z robotem w układ bazowy
(x,y) - współrzędne określające położenie skrzyni robota względem bazowego układu odniesienia
θ - orientacja robota
φ_i- kąt obrotu i-tego kola
β_i - kąt określający orientację i-tego koła względem układu odniesienia związanego ze skrzynią robota ( stowaarzyszonego z platformą mobilną)
reszta.... Transformacja układu platformy względem bazowego układu współrzędnych

A0P = Trans(X,x) ·Trans(Y,y) ·Rot(Z,θ).

(20)

Zgodnie z [] znając parmametry powyzszego przeksztalcenia energię kinetyczną i-tego kola możemy wyrazić wzorem: Z kolei energia kinetyczna i-tego koła przybiera postać

EKi = 1 2 Ixxi ⋅ ϕ   2 i  + 1 2 Izzi ⋅ ∆   2 i  + 1 2 MKi { ⋅ x   2   + ⋅ y   2   + di2 ⋅ ∆   2 i  + li2 ⋅ θ   2   + 2 li di ⋅ ∆   i  θi cos βi +       + 2 di ⋅ ∆   i  ⎡ ⎣ ⋅ y   cos(αi + βi + θ) − ⋅ x   sin(αi + βi + θ) ⎤ ⎦ +       + 2 li ⋅ θ   ⎡ ⎣ ⋅ y   cos(αi + θ) ⋅ x   sin(αi + θ) ⎤ ⎦ },

(21)

gdzie: α_i, β_i, l_i, d_i, ϕ_i, ∆_i=β_i+θ - parametry transformacji ().

gdzie:
Ixx_i=[1/2]MR² - moment bezwładności .....
Izz_i=[1/12]Mω²+[1/4]MR² - co to....................
M - masa koła ( w późniejszych rozważaniach zakładamy, że wszystkie koła danego robota mają jednakową masę)
R - promień koła ( w późniejszych rozważaniach zakładamy, że wszystkie koła danego robota mają jednakowy promień)
ω - grubość koła
∆ = β+θ

2.3  Energia potencjalna

Dla platformy mobilnej zakładamy, że koła są sztywne i niedeformowalne, w związku z czym środek masy nie zmienia swojego polożenia względem powierzchni ziemi. Co za tym idzie energia potencjalna jest stała i nie odgrywa roli w równaniach ruchu.

2.4  Równania dynamiki dla układów nieholonomicznych we współrzędnych uogólnionych

Postać modelu dynamiki we współrzędnych uogólnionych otrzymuje się z zasady d'Alemberta [#1#2]

M(q) ⋅⋅ q   + C(q, ⋅ q   ) ⋅ q   + D(q) = F,

(22)

gdzie:

• M(q) - macierz bezwładności,
• C(q,· q) - macierz oddziaływań Coriolisa i sił odśrodkowych,
• D(q) - siły grawitacji,
• F = F_A + F_R + F_C - zewnętrzne siły działające na robota:
  • F_A - siły napędzające,
  • F_R - siły reakcji,
  • F_C - siły zapewniające spełnienie ograniczeń fazowych.

Zgodnie z Zasadą Najmniejszego Działania Hamiltona rozpatrywane równania dynamiki przyjmują postać równań Eulera-Lagrange'a

d dt ∂L(q, ⋅ q   ) ∂ ⋅ q   − ∂L(q, ⋅ q   ) ∂q = F,

(23)

gdzie, jak wspomniano wcześniej, F to siły niepotencjalne działające na układ.
Układ (24) jest układem równań różniczkowych zwyczajnych drugiego rzędu

∂2 L(q, ⋅ q   ) ∂ ⋅ q   2   ⋅⋅ q   + ∂2 L(q, ⋅ q   ) ∂q ∂ ⋅ q   ⋅ q   − ∂L(q, ⋅ q   ) ∂q = F.

(24)

Macierz M(q) otrzymuje się wprost z równania energii kinetycznej pojazdu.

Na rozpatrywane układy nałożone ą ograniczenia fazowe w postaci Pfaffa oraz działa na nie wektor sterowań u, wię równania dynamiki przyjmują postać

d dt ∂L ∂ ⋅ q   − ∂L ∂q =AT(q)λ+Bu

(25)

M(q) ⋅⋅ q   +C(q, ⋅ q   ) ⋅ q   +D(q)=AT(q)+Bu

(26)

C(q, ⋅ q   )= d dt M(q)− 1 2 ∂ ∂q ( ⋅ q   T   M(q))

(27)

2.5  Równania dynamiki dla układów nieholonomicznych we współrzędnych pomocniczych

G^T(q)A(q)=0
ze korzystamy z bezdryfowego układu sterowania
·· (q)=...

tu wzor pelen

(28)

M* ⋅ η   +C*η*D*(q)=B*u

(29)

wzory na powyższe

Autorzy : Mirella Frontkiewcz, Weronika Matlakiewcz, Sławomir Paszko, Zuzanna Pietrowska, Monika Puchalska, Łukasz Żygadło