1  Kinematyka kołowych platform mobilnych oraz manipulatorów mobilnych

Kinematyka jest to dział mechaniki zajmujący się matematycznym opisem ruchu układów mechanicznych oraz badaniem geometrycznych właściwości tego ruchu. Kinematyka abstrahuje od działających sił i bezwładności ciał. W pracy tej przedstawimy przykłady wyznaczania równań ograniczeń oraz modeli kinematyki dla kołowych platform mobilnych i manipulatorów mobilnych.

Ograniczenia fazowe są to ograniczenia nałożone na ruch układu, które przedstawia się w postaci Pfaffa. Zaliczają się do nich zarówno ograniczenia holonomiczne, jak i nieholonomiczne. W przypadku ograniczeń holonomicznych, ograniczenia na prędkości układu z postaci Pfaffa, można zastąpić ograniczeniami na współrzędne. Kinematyczne ograniczenia nieholonomiczne wynikają z założenia o braku poślizgów kół (istnieją również ogranicznia nieholonomiczne na poziomie dynamicznym - wynikające z zasady zachowania pędu - jednak nie będziemy ich rozważać). Opis formalny powyższych pojęć znajduje się w kolejnych podrozdziałach.

Zgodnie z [] istnieje pięć niezdegenerowanych klas kołowych platform mobilnych, przy czym tylko klasa (3,0) jest holonomiczna. Pozostałe cztery klasy, czyli klasy (2,0), (2,1), (1,2) i (1,1), nazywane są układami z ograniczoną mobilnością. W ich przypadku ograniczona mobilność wynika z tego, że ograniczenia fazowe stają się nieholonomiczne.

Kinematyka manipulatora mobilnego, która składa się z kinematyki platformy i kinematyki manipulatora, jest funkcją, która wyznacza położenie i orientację efektora względem przyjętego bazowego układu współrzędnych, w zależności od położenia platformy oraz przegubów manipulatora [].
Ze wzglądu na rodzaj ograniczeń, nałożonych na poszczególne manipulatory mobilne, można je podzielić na nastepujące typy []:

• typ (h,h) - holonomiczny manipulator na holonomicznej platformie,
• typ (h,nh) - holonomiczna platforma z nieholonomicznym manipulatorem,
• typ (nh,h) - nieholonomiczna platforma z holonomicznym manipulatorem,
• typ (h,h) - nieholonomiczny manipulator na nieholonomicznej platformie.

1.1  Kinematyka we współrzędnych przegubowych

Manipulator o n stopniach swobody jest układem robotycznym, złożonym z n ciał sztywnych, zwanych ramionami, połączonych za pośrednictwem n przegubów. Jeden koniec łańcucha ramion, tworzącego manipulator, jest związany z nieruchomą bazą (np. podłożem), drugi zaś koniec pozostaje swobodny [].

Manipulator opisywany jest wektorem współrzędnych przegubowych x = (x₁ , x₂ , ..., x_N)^T.

Model kinematyki manipulatora uzyskuje sie przy użyciu algorytmu Denavita-Hartenberga []. Polega on na związaniu z każdym przegubem manipulatora, lokalnego układu współrzędnych, a następnie określeniu ciągu transformacji sąsiednich układów współrzędnych. Złożenie transformacji wyznacza kinematykę manipulatora.

Ciąg transfromacji złożony jest z elementarnych obrotów i przesunięć.

Rot(oś,kat) = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ R(oś, kąt) 0 0 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

(1)

Macierze poszczególnych obrotów:

R(X,α) = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 1 0 0 0 cosα −sinα 0 sinα cosα ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ , R(Y,α) = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ cosα 0 sinα 0 1 0 −sinα 0 cosα ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ , R(Z,α) = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ cosα −sinα 0 sinα cosα 0 0 0 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ,

(2)

Macierz przesunięcia:

Trans(os,przesunięcie) = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ I3 przesunięcie · oś 0 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ .

(3)

Kolejne kroki algorytmu DH:

1. Z każdym przegubem wiążemy układ współrzędnych. Ruch w przegubie zachodzi względem osi Z.
2. Definiujemy odpowiednio lokalne układy współrzędnych.
3. Wyznaczamy przekształcenie od danego układu do następnego:
   A_i−1ⁱ = Rot(Z,q_i)Trans(Z,d_i)Trans(X,a_i)Rot(X,α_i).
4. Kinematyka powstaje poprzez wymnożenie wszystkich przekształceń.

Uwagi:

• W przegubie jest tylko jedna zmienna, reszta jest ustalona.
• W algorytmie DH nie ma przekształceń wokół osi Y.

1.2  Kinematyka we współrzędnych zadaniowych

Położenie przegubów manipulatora (x) oraz położenie plaformy (q) wyznacza położenie i orientację efektora we współrzędnych zadaniowych.

y = k(q; x).

(4)

W celu wyznaczenia kinematyki manipulatora mobilnego, należy wyznaczyć ciąg transformacji związanych z położeniem platformy i złożyć je z wyznaczoną uprzednio kinematyką manipulatora (rozdział 1.1.) . Ciąg tranfromacji również złożony jest z elementarnych obrotów i przesunięć, jednakże nie jest on zgodny z reprezantacją Denavita-Hartenberga, gdyż występuje tutaj przesunięcie w osi Y.

1.3  Kinematyka we współrzędnych uogólnionych

Niech układ mechaniczny opisuje n uogólnionych współrzędnych q ∈ Rⁿ. Ograniczenia na ruch układu mechanicznego oznaczają, że nie wszystkie trajektorie mogą zostać zrealizowane. Kinematyka we współrzędnych uogólnionych wyrażona jest w tzw. postaci Pfaffa

A(q) ⋅ q   =0.

(5)

Macierz A(q) nazywana jest macierzą ograniczeń Pfaffa. Jak wcześniej wspomniano pod tą postacią mogą kryć się zarówno ograniczenia holonomiczne jak i nieholonomiczne.

1.3.1  Platformy mobilne nieholonomiczne

Zakładając, że koła robota są jednorodne i niedeformowalne¹, możemy wyprowadzić dla nich równania na brak poślizgu. W pracy tej rozpatrywane będą dwa typy takich warunków:

• warunek na brak poślizgu poprzecznego koła,
• warunek na brak poślizgu wzdłużnego koła.

Pierwszy z tych warunków oznacza brak składowej prędkości ortogonalnej do płaszczyzny koła (czyli brak zmian położenia koła w płaszczyźnie jego przekroju poprzecznego) i przedstawia się następująco:

⋅ x   sinθ− ⋅ y   cosθ = 0

(6)

Jeżeli koła robota mobilnego znajdują się na sztywnej osi, możemy przyjąć, że gdy współrzędne (x,y) będą wyznaczały środek tej osi, to powyższe równanie stanowi warunek braku poślizgu poprzecznego dla obu kół znajdujących się na tej osi, dzięki czemu zamiast dwóch ograniczeń do równania 5 możemy wpisać jedno.
Drugim rozpatrywanym ograniczeniem fazowym będzie brak poślizgu wzdłużnego, oznaczający zerową predkość toczącego się koła w punkcie styku z podłożem (prędkość liniowa koła, czyli promień pomnożony przez jego prędkość kątową, musi być równa prędkości postępowej robota w punkcie kontaktu z podłożem), co można zapisac jako:

vi − R ⋅ φ   i  = 0,

Obecność ograniczeń fazowych 5 może - ale nie musi - prowadzić do ograniczenia dopuszczalnych konfiguracji układu. Zależy to od własności ograniczeń fazowych zwanej holonomicznością. Jeśli możliwe jest ich scałkowanie, ograniczenia te są holonomiczne. Niemożliwość scałkowania systemu 5 oznacza nieholonomiczność ograniczeń. Obecność tych ograniczeń nie zmiejsza ilości możliwych do osiągnięcia konfiguracji, jednak utrudnieniu może ulec osiągnięcie niektórych z nich [].
Zakładając, że wszystkie ograniczenia są nieholonomiczne, z równania 5 wynika, że dopuszczalne prędkości · q układu w konfiguracji q, należą do jądra macierzy Pfaffa²

⋅ q   ∈ Ker A(q).

(7)

Oznacza to, iż prędkości dopuszczalne można wyrazić, jako kombinację pewnych wektorów rozpinających jądro macierzy A(q)

⋅ q   = m ∑ i=1  gi(q)ui=G(q)η,

(8)

gdzie macierz G(q) wyznacza się z równania A(q)G(q) ≡ 0, a η to wektor prędkości pomocniczych. Niezależność ograniczeń fazowych pozwala stwierdzić, że w każdym punkcie przestrzeni stanu rząd macierzy G(q) jest pełny i równy

rank (G(q))=n−l=m,

(9)

gdzie:
n - ilość zmiennych stanu,
l- ilość ograniczeń.
Pola wektorowe g₁,g₂,...,g_m (zdefiniowane przez kolumny macierzy G(q)) tworzą w przestrzeni stanu obiekt geometryczny - tzw. dystrybucję związaną z układem (8). Ograniczenia fazowe będą spełnione w przypadku, gdy w każdym punkcie należącym do przestrzeni stanu, prędkość układu będzie liniową kombinacją pól wektorowych (będą one należały do dystrybucji).
Jeżeli wymiar ostatniej dystrybucji układu będzie równy liczbie zmiennych stanu tego układu, to ograniczenia będą nieholonomiczne, a układ w pełni sterowalny.

1.3.2  Platformy mobilne holonomiczne

Platformy holonomiczne cechuje własność, pozwalająca na sprowadzenie ograniczeń prędkościowych, do ograniczeń konfiguracyjnych (zmniejszenie wymiaru przestrzeni stanu). Wygodnie jest modelować wtedy takiego robota za pomocą punktu materialnego, wraz z opisanym na nim okręgiem o określonym promieniu, który porusza się w przestrzeni. Ograniczenia te dają się zapisać w postaci Pfaffa .

dΦ dq · dq dt = dΦ dq · ⋅ q   = A(q) · ⋅ q   = 0

(10)

Nie zmniejsza się liczba sterowań taką platformą - ograniczenia są nałożone na przestrzeń stanu robota. Przykładowo, wektor stanu trójkołowego robota klasy (3,0) ma tylko trzy zmienne q = (x,y,θ)^T, zamiast sześciu (x,y,θ,ϕ₁,ϕ₂,ϕ₃). Zależności znane z platform nieholonomicznych, takie jak założenie o braku poślizgu bocznego oraz wzdłużnego, nie są uwzględniane przy obliczaniu kinematyki takich układów. Korzystamy z elementarnych rotacji oraz translacji, aby otrzymać równania wyjściowe, wiążące nasze sterowania z położeniem oraz orientacją robota.

1.4  Kinematyka we współrzędnych pomocniczych

Kinematyka we współrzędnych pomocniczych wyrażona jest tak zwanym bezdryfowym układem sterowania opisanym równaniem 8. Dzięki własności

A(q) G(q) ≡ 0,

(11)

bezdryfowy układ sterowania pozwala usunąć z modelu dynamiki niepożądane mnożniki Lagrange'a.

Niestety takie przejście ma również swoje wady, ponieważ po transformacji modelu do współrzędnych pomocniczych, w układzie występuje sterowanie prędkościowe, więc nie da się bezpośrednio sterować położeniem. Dodatkowo nie ma liniowego przejścia pomiędzy prędkościami a położeniami.

Znalezienie wektorów g_i macierzy G(q) jest bardzo proste, należy jedynie stosować się do pewnych warunków, które macierz G(q) musi spełniać:

• A(q) g_i = 0,
• g_i ≠ 0,
• i ∈ {1,2,...,m}, przy czym m = n − l, gdzie:
  • n - wymiar przestrzeni (liczba współrzędnych wektora q),
  • l - liczba ograniczeń (liczba wierszy macierzy A(q)).

1.5  Przybliżenie liniowe bezdryfowego układu sterowania

Bezdryfowy układ sterowania (8) wraz z funkcją wyjścia (4) stanowią model matematyczny kinematyki manipulatora mobilnego

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ ⋅ q   =G(q) u = m ∑ i=1  qi(q)ui, y = k(q, x).

(12)

Bezdryfowy układ sterowania nie jest układem liniowym, aby możliwe było sterowanie oparte na modelu kinematyki układu, należy wyznaczyć jego liniowe przybliżenie.

Przybliżenie liniowe bezdryfowego układu sterowania [].

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ ⋅ ξ   = A(t)ξ+ B(t)υ, ζ = C(t,x)ξ+ D(t,x)ω,

(13)

gdzie:
A(t) = [(∂(G(q(t))u(t))/(∂q)],         B(t) = G(q(t)),
C(t,x) = [(∂k(q(t), x))/(∂q)],         D(t,x) = [(∂k(q(t), x))/(∂x)].

Autorzy : Mirella Frontkiewcz, Weronika Matlakiewcz, Sławomir Paszko, Zuzanna Pietrowska, Monika Puchalska, Łukasz Żygadło